Herzlich willkommen zur Vorlesung wieder.

Wir hatten das letzte Mal begonnen, die einfachsten Konzepte zur Boltzmann-Verteilung zu besprechen.

Das möchte ich kurz wiederholen.

Wir gehen also weiterhin aus von der Boltzmann-Verteilung.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, irgendein Quantensystem in einem Eigenzustand n zu finden,

ist einfach gegeben durch dieses Boltzmanngewicht e hoch minus beta en,

dividiert durch eine passende Normierung.

Und diese Normierung z, das ist eben die Zustandssumme, einfach die Summe über diese Boltzmanngewichte.

Wir hatten dann herausgefunden, dass es ziemlich clever ist, den Logarithmus der Zustandssumme anzuschauen,

und dafür hatten wir uns eine neue Größe eingeführt, die im Wesentlichen der Logarithmus der Zustandssumme ist,

und das kann ich so schreiben, dass diese Zustandssumme gleich ist e hoch minus beta f.

Und f muss offenbar auch die Einheit einer Energie haben, und f nennen wir freie Energie.

Aus der Relation sehen wir dann sofort, dass f gleich minus k Boltzmann T mal der Logarithmus der Zustandssumme sein soll.

Und wir hatten gesehen, an einem sehr einfachen Beispiel, dass dieses f einerseits die Energie enthält,

und andererseits aber noch so ein Zusatzterm, der umso kleiner wird, je größer das statistische Gewicht ist,

und das bedeutet, je mehr Niveaus ich bei dieser Energie habe.

Und um dieses statistische Gewicht sozusagen von der Energie abzuspalten, hatten wir eine weitere Definition eingeführt.

Wir hatten gesagt, dieses f, die freie Energie, ist die mittlere Energie, aber dann dieser Zusatzterm minus T mal S.

Und S ist dann eben ein Kennzeichen für dieses statistische Gewicht.

S wächst an mit der Zahl der Niveaus, die effektiv beitragen, und S ist die Entropie.

Wir hatten dann nebenbei aus dieser Definition auch abgeleitet, dass die Entropie auch geschrieben werden kann als minus k B Summe über alle N Pn Logarithmus von Pn.

Gut, und dann hatten wir uns ein paar einfache Eigenschaften angeschaut, insbesondere hatten wir gefragt, was passiert denn, wenn wir zum Beispiel zwei unabhängige Teilsysteme haben,

die wir zwar formal gemeinsam betrachten, aber die haben gar keine Wechselwirkung oder zumindest keine starke Wechselwirkung,

sodass dann de facto die Wahrscheinlichkeitsverteilungen auch faktorisieren, das heißt, die Teilsysteme sind unabhängig voneinander.

Die Wahrscheinlichkeit, das hier in einem Zustand N1 zu finden und gleichzeitig das hier in einem Zustand N2 zu finden, das ist das Produkt der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Und das konnten wir auch direkt herleiten aus dieser Boltzmann-Verteilung angewendet auf das Gesamtsystem,

einfach aus der Tatsache, dass die Energien dann die Summe der jeweiligen Einzelenergien sind und dann aus der Exponentialfunktion das Produkt wird.

Das ist immer dieselbe Idee. Wir hatten uns dann auch angeschaut, was denn mit der Zustandssumme in so einem Fall passiert,

und wir haben gefunden, dass auch die Zustandssumme sich schreiben lässt als Produkt der einzelnen Zustandssummen.

Und daraus folgt dann sofort, dass die freie Energie, die ja im Exponenten steht, sich addiert.

Und dasselbe passiert natürlich auch mit der mittleren Energie, denn wir haben ja keinen Wechselwirkungsbeitrag in der Energie,

und ansonsten addieren sich einfach die Energien. Und weil diese beiden Relationen gelten und zwischen der freien Energie und der Entropie diese Beziehung gilt, addiert sich dann auch die Entropie.

Und das sind sehr wichtige Relationen, weil speziell kann man sich jetzt überlegen, was passiert zum Beispiel, wenn ich ein richtig großes System habe,

aber in Wahrheit ist es homogen in dem Sinne, dass ich es zerteilen kann in viele Teilsysteme, jedes davon sieht so ähnlich aus.

Und was man dann aus diesen Beziehungen leicht ableiten kann, indem man die wiederholt anwendet, ist, dass die freie Energie einfach die Anzahl der Teilsysteme mal die freie Energie eines Teilsystems ist,

genauso bei der Energie, genauso bei der Entropie, und man sagt dann, dass diese Größen extensiv sind.

Die wachsen also mit dem Volumen an, wenn ich das Volumen vergrößere und dabei gleichzeitig die Dichte konstant halte.

Das heißt, die Eigenschaften bleiben homogen, gleichartig, und ich vergrößere einfach das Volumen, indem ich immer weitere Teilsysteme anfüge.

Gut. Und dann hatten wir uns zu Ende der letzten Stunde angeschaut, wie wir denn solche großen Systeme, zum Beispiel zusammengesetzt aus vielen Teilsystemen,

etwas effizienter beschreiben, anstatt dass wir alle einzelnen Energiezustände aufführen.

Weil es gibt da halt, speziell bei größeren Energien, sehr, sehr viele Energieniveaus, die sehr, sehr dicht beieinander liegen.

Und dann ist es klüger, einfach nur zu fragen, pro Energieintervall, wie viele Energieniveaus habe ich da im Mittel?

Und das hat uns dann auf die Zustandsdichte geführt.

Also die Idee ist wieder, dass die Energieniveaus sehr, sehr dicht beieinander liegen.

Und dass wir dann nur noch fragen, in einem gewissen Energieintervall d', wie viele Energieniveaus haben wir da, zum Beispiel 100 oder so.

Und dann sagen wir, naja, die Anzahl der Energieniveaus wird natürlich linear anwachsen mit der Größe des Intervalls,

zumindest solange das Intervall klein genug ist. Wenn ich das Intervall verdopple, habe ich auch circa doppelt so viele Niveaus.

Und das heißt, die vernünftige Größe sich anzuschauen, ist eine Dichte Niveaus pro Energieintervall.

Und das war unsere Zustandsdichte.

Dieses dN war die Anzahl der Niveaus in diesem Intervall gewesen.